Dein Mann ist nicht nur den Kindern sondern auch dir Unterhalt schuldig, wie er im Rahmen seiner Möglichkeiten ist (Selbstbehalt von rd. 1200€ muss ihm bleiben). Den Rest kannst Du über Sozialgeld, Wohngeld etc. aufstocken. Wie oben schon geschildert, lass dich beraten, es gibt auch Frauenberatungsstellen bei den Städten, die helfen mit Rat und Tat.
Mit Baby und mehreren kleinen Kindern erwartet niemand, dass Du arbeitest. Wenn du die Kinder in Kita und Schulen mit Ganztagsbetreuung-Angebot anmelden kannst, wird dann das allerdings von dir erwartet, damit du dich arbeitssuchend melden kannst. Hat ein Kind eine Behinderung oder liegen andere Gründe vor, die zwingend erforderlich machen, dass du trotzdem nicht arbeiten kannst, kannst Du das geltend machen.
Bitte bedenke bei geteiltem Sorgerecht, dass Dein Mann zustimmen muss, dass Du mit den Kindern ausziehst. Wenn er nicht einverstanden ist, darfst du die Kinder nicht mitnehmen sondern nur allein ausziehen. Es sei denn, es liegen Gründe vor, warum das nicht zumutbar ist. Z.B. häusliche Gewalt, Drogenkonsum, Missbrauch o.ä. ! Ansonsten bleibt nicht aus, dass du erst Mal sein Okay hast, wenn du mit den Kindern von ihm weg willst. Du brauchst dafür z.B. auch beim Amt eine Einverständniserklärung des Vaters, um die Kinder an der neuen Adresse anmelden zu können.