Er sucht täglich eine bestimmte Frau auf Instagram, schaut ihr Stories und macht sich Screenshots?

Was sagt er denn dazu?
Ich würde mir keine Gedanken machen, sondern dringend das Gespräch suchen.

Ob du dir Gedanken machen musst hängt von vielem ab. Zum Beispiel vom Alter: Seid ihr 19? Oder seid ihr 40 oder seid ihr 79? 

Wie oft schwärmen wir für andere (öffentliche) Personen, denen wir im realen Leben nir begegnen werden? Sprich einfach mit ihn.

ich möchte ihn ungerne darauf ansprechen, weil er dann weiß, dass ich an seinem Handy war.

Wir sind beide 30.  ich möchte ihn ungerne darauf ansprechen, weil er dann weiß, dass ich an seinem Handy war.

Ihr scheint ein grundsätzliches Problem mit Vertrauen/Misstrauen in eurer Beziehung zu haben. Statt weiter damit herumzueiern, wäre es jetzt an der Zeit, Eier in der Hose zu haben und offen anzusprechen: dass du an seinem Handy warst, dass du unsicher über deine "Funde" bist.
Deine jetzige Frage ist nur ein Sympton deutlich tiefergehenderer Themen bei euch.

Tja, selbst Schuld! So etwas tut  mensch ja auch nicht! 

Der Lauscher an der Wand ...

Jetzt kannste mal sehen, wie du aus der Nummer wieder rauskommst 

Ansonsten kann ich mich @voga anschließen.

Daß es zumindest unfein ist, im Handy zu spionieren, ist so, aber das ist vermutlich das kleinere Übel.

Sein Interesse an dieser Frau kann einerseits völlig harmlos sein.  Es könnte aber mehr dahinter stehen,  und da hilft nur, es anzusprechen und Antworten einzufordern.

"Ich weiß, daß es unfein war, aber ich war an deinem Handy und habe (den Ordner xyz ) gefunden."
Laß ihm ruhig Zeit, über das Unfeine zu schimpfen.
Dann schau ihn fragend an (oooch, wie die Frauen um diese Superkraft beneide! ). So lange, bis du eine Antwort bekommst. - Das etwa mein Szenario.

Ich wünsche dir das Beste,

Pi

 

  (oooch, wie ich die Frauen um diese Superkraft beneide! )

Tippfehler.