Ich finde die Aussage von deiner Freundin etwas anmaßend. Du sollst ihr beweisen, dass du sie liebst, weil sie dir nicht glaubt. Das bedeutet doch eigentlich, dass die der Meinung ist, du belügst sie. Wieso ist das so? Warst du unehrlich zu ihr oder hast sie betrogen o. ä.? Klar, wird sie eine kleine Überraschung, wie ein Bluemstrauß oder ein etwas kreativeres Geschenk (das lässt sich ja alles per Post schicken) freuen und ist in ihren Augen ein Liebesbeweis. Aber erwartest du das denn auch von ihr oder glaubst du ihr auch so, dass sie dich liebt?
Wahrscheinlich ist sie nur unzufrieden mit eurer Fernbeziehung. Auch in einer Fernbeziehung muss man aber nicht 24/7 miteinander schreiben. Telefoniert ihr auch? Vielleicht bringt es euch näher zusammen, wenn ihr in der Zeit, in der ihr euch nicht seht, skypen oder zumindest telefonieren könnt. Nur über den Messenger zu schreiben hält m. E. eine Fernbeziehung auf die Dauer nicht am laufen.